题目内容
在实数集R中定义一种运算“*”，对于任意给定的a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质；
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．
关于函数f(x)=(3x)*(
)的性质，有如下说法：
①函数f（x）的最小值为3；
②函数f（x）为奇函数；
③函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-
)，(
，+∞)．
其中所有正确说法的序号为
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．
关于函数f(x)=(3x)*(
| 1 |
| 3x |
①函数f（x）的最小值为3；
②函数f（x）为奇函数；
③函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
其中所有正确说法的序号为
③
③
．分析：对于新定义的运算问题常常通过赋值法得到一般性的结论，对f（x）的解析式进行化简，利用导数法分析出函数的单调性和最值，再利用函数奇偶性的定义分析出函数的奇偶性，可得答案．
解答：解：由新运算“*”的定义（3）令c=0，则a*b=ab+a+b
∴f(x)=(3x)*(
)=1+3x+
，
∴f′（x）=3-
，令f′（x）=0
则x=±
，
∵当x∈(-∞，-
)，(
，+∞)时，f′（x）＞0
∴函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-
)，(
，+∞)正确；
根据对勾函数的图象和性质，可得
在区间(-∞，-
)，(
，+∞)上，函数图象向下，向上无限延长
故函数f（x）的最小值为3错误；
又∵f（-x）=1-3x-
与-f（x）=-1-3x-
不相等，
故函数f（x）为奇函数错误
故答案为：③
∴f(x)=(3x)*(
| 1 |
| 3x |
| 1 |
| 3x |
∴f′（x）=3-
| 1 |
| 3x2 |
则x=±
| 1 |
| 3 |
∵当x∈(-∞，-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
根据对勾函数的图象和性质，可得
在区间(-∞，-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
故函数f（x）的最小值为3错误；
又∵f（-x）=1-3x-
| 1 |
| 3x |
| 1 |
| 3x |
故函数f（x）为奇函数错误
故答案为：③
点评：本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力．
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