题目内容
19.已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$,P是椭圆C上一点,PF1与y轴的交点为M,O为坐标原点,若|PF1|-|PF2|=$\frac{2}{3}$a,则|OM|:|PF2|=1:2.分析 运用椭圆的离心率公式和定义,可得|PF1|=$\frac{4}{3}$a,|PF2|=$\frac{2}{3}$a,|F1F2|=2c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,由勾股定理的逆定理和中位线定理,即可得到所求之比.
解答 解:由离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$,即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
又|PF1|-|PF2|=$\frac{2}{3}$a,
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,
解得|PF1|=$\frac{4}{3}$a,|PF2|=$\frac{2}{3}$a,
由|F1F2|=2c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2,
即有PF2⊥x轴,则OM∥PF2,
即有OM为三角形PF1F2的中位线,
即有|OM|=$\frac{1}{2}$|PF2|,
故答案为:1:2.
点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质,考查三角形的勾股定理的逆定理和中位线定理,考查运算能力,属于中档题.
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