Question

7．在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在棱CC₁上，且CC₁=4CP．
（1）求直线AP与平面BCC₁B₁所成的角的正弦值大小；
（2）求点P到平面ABD₁的距离．

Answer 1

分析 （1）由题设条件，连接PB，即可得出AP与平面BCC₁B₁所成的角为∠APB，用公式求出线面角的正弦．
（2）建立空间坐标系，用向量法求点到面的距离，求线段对应的向量在面的法向量的投影的长度即可．

解答 解：（1）如图，连接PB，由正方体的性质知∠APB即为所求的线面角，
∵CC₁=4CP，∴CP=1，由勾股定理知BP=$\sqrt{17}$，AB=$\sqrt{33}$
∴sin∠APB=$\frac{4}{\sqrt{33}}$=$\frac{4\sqrt{33}}{33}$；
（2）建立如图的空间坐标系，由已知D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），D（0，0，4），B（4，4，0）
如图$\overrightarrow{AB}$=（0，4，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-4，0，4）$\overrightarrow{AP}$=（-4，4，1）
令面ABD₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
故有$\left\{\begin{array}{l}{x-z=0}\\{y=0}\end{array}\right.$
令x=1，则z=1，故$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）
故点P到平面ABD₁的距离d=$\frac{|-4+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线面角，考查向量法求点到面的距离，在做题时应根据题目的条件灵活选用解题的方法．