题目内容
17.过椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1上的一个动点P向x轴引垂线交于M,延长MP到N(P在MN中间)使$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{MN}$(λ>0,λ≠1),所得N点轨迹与椭圆有相同的离心率,则λ=$\frac{1}{2}$.分析 确定N点的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+λ2y2=1,利用N点轨迹与椭圆有相同的离心率,建立方程,即可求出λ.
解答 解:设N(x,y),P(x,y0),M(x,0),所以(0,y0)=λ(0,y),则y0=λy,
∴N点的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+λ2y2=1,
∵λ>0,λ≠1,
故轨迹是焦点在y轴上的椭圆,
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{\frac{\frac{1}{{λ}^{2}}-2}{\frac{1}{{λ}^{2}}}}$,
∴λ=$\frac{1}{2}$.
故答案为:$\frac{1}{2}$.
点评 本题考查轨迹方程,考查椭圆的性质,考查学生的计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
5.下列四个函数:①y=$\frac{x}{x-1}$;②y=x2+x;③y=-(x+1)2;④y=$\frac{x}{1-x}$+2,其中在(-∞,0)上为减函数的是( )
A. | ① | B. | ④ | C. | ①④ | D. | ①②④ |
8.曲线${∫}_{-\sqrt{2}}^{2}$(-$\sqrt{2-{x}^{2}}$)dx( )
A. | -2π | B. | -π | C. | 2π | D. | π |