题目内容
【题目】已知椭圆的一个顶点是
,离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知矩形的四条边都与椭圆
相切,设直线AB方程为
,求矩形
面积的最小值与最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)当
时S有最大值10;当k=0时,S有最小值8.
【解析】
试题(Ⅰ)利用待定系数法即可,由题意,椭圆的一个顶点是
,
所以,又
,椭圆C的方程是
;(Ⅱ)注意斜率的讨论,当
时,
椭圆的外切矩形面积为8. 当
时, AB所在直线方程为
,所以,直线BC和AD的斜率均为
.联立直线AB与椭圆方程可得
,令
得到
,直线AB与直线DC之间的距离为
,同理可求BC与AD距离为
,所以矩形ABCD的面积为
,再利用基本不等式即可解决.
试题解析:(Ⅰ)由题意,椭圆的一个顶点是
,
所以
又,离心率为,即
,
解得,
故椭圆C的方程是
(Ⅱ)当时,
椭圆的外切矩形面积为8.
当时,
椭圆的外切矩形的边AB所在直线方程为
,
所以,直线BC和AD的斜率均为.
由,消去y得
,
化简得:
所以,直线AB方程为
直线DC方程为
直线AB与直线DC之间的距离为
同理,可求BC与AD距离为
则矩形ABCD的面积为
由均值定理
仅当,即
时S有最大值10.
因此,当时S有最大值10;
当K=0时,S有最小值8.
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