Question

【题目】设命题p：x∈R，都有ax2＞﹣ax﹣1（a≠0）恒成立；命题q：圆x2+y2=a2与圆（x+3）2+（y﹣4）2=4外离．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：p：不等式ax2+ax+1＞0（a≠0）对x∈R恒成立，
∴
∴0＜a＜4．
q：设两个圆的圆心距为d．
∴ ．
∵两圆外离，
∴d＞|a|+2，
∴|a|＜3，
∴﹣3＜a＜3．
∵命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
∴p，q一真一假．
①p真q假时， ，
∴3≤a＜4
②p假q真时， ，
∴﹣3＜a≤0．
综上所述，实数a的取值范围为（﹣3，0]∪[3，4）
【解析】分别求出命题p，q为真时实数a的取值范围．再由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，p，q一真一假，可得实数a的取值范围．
【考点精析】掌握命题的真假判断与应用是解答本题的根本，需要知道两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．