Question

9．某种鲜花进价每束2.5元，售价每束5元，若卖不出，则以每束1.6元的价格处理掉，某节日鲜花的需求量X（单位：束）的分布列为

X	200	300	400	500
P	0.20	0.35	0.30	0.15

（Ⅰ）若进鲜花400束，是写出销售量S（单位：束）的分布列，并求利润Y的均值．
（Ⅱ）若进鲜花n束（300＜n≤500），求n取何值时可使利润Y的均值最大？

Answer 1

分析 （1）由销售量S（单位：束）的分布列求出E（S），再由已知函数求出求出利润Y关于销售量S的函数，由此能求出E（Y）．
（2）分别求出当400＜n≤500和当300＜n≤400时，销售量S（单位：束）的分布列、E（S）、E（Y），由此能得到n取何值时可使利润Y的均值最大．

解答 解：（1）∵销售量S（单位：束）的分布列为：

S	200	300	400
P	0.20	0.35	0.45

∴E（S）=200×0.20+300×0.35+400×0.45=325，
而利润Y=（5-2.5）S-（2.5-1.6）（400-S）=3.4S-360，
∴E（Y）=3.4E（S）-360=3.4×325-360=745．…（6分）
（2）当400＜n≤500时，销售量S（单位：束）的分布列为

S	200	300	400	n
P	0.20	0.35	0.30	0.15

∴E（S）=200×0.20+300×0.35+400×0.30+n×0.15=0.15n+265，又Y=3.4S-0.9n，
∴E（Y）=3.4E（S）-0.9n=-3.9n+901； …（8分）
当300＜n≤400时，销售量S（单位：束）的分布列为

S	200	300	n
P	0.20	0.35	0.45

∴E（S）=200×0.20+300×0.35+n×0.45=0.45n+145，又Y=3.4S-0.9n，
E（Y）=3.4E（S）-0.9n=0.63n+493，…（10分）
E（Y）=$\left\{\begin{array}{l}{0.63n+493（300＜n≤400）}\\{-0.39n+901（400＜n≤500）}\end{array}\right.$，
∴n=400时，E（Y）取最大值745．…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意分布列的性质的合理运用．