Question

已知椭圆的两焦点为，P为椭圆上一点，且|PF₁|+|PF₂|=4
（1）求此椭圆方程．
（2）若，求△F₁PF₂的面积（要有详细的解题过程）

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可求得a和c，进而根据b，a和c的关系，则b可得，进而求得椭圆的方程．
（2）由余弦定理结合椭圆的定义，经整体运算可求得|PF₁|•|PF₂|的值，进而求其面积．
解答：解：（1）依题意得c=，2a=4，
解得a=2，c=，从而b=1．
故椭圆的方程为 ．
（2）在△F₁PF₂中，由余弦定理得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°，
∴ ①
又|PF₁|+|PF₂|=2a=4，平方得|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=16，=2 ②，
②-①得3|PF₁|•|PF₂|=4，即 ，
∴△F₁PF₂的面积 ．
∴，△F₁PF₂的面积．
点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法．还考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．本题将圆锥曲线与三角问题巧妙的交汇在一起，事实上，在椭圆中S=b²tanθ，同理可求得在双曲线中 （其中 ）．