Question

已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面边长AB=6，侧棱长，它的外接球的球心为O，点E是AB的中点，点P是球O的球面上任意一点，则有以下结论：
①PE长的最大值是9；
②三棱锥P—EBC的最大值是[]
③存在过点E的平面，截球O的截面面积是；
④三棱锥P—AEC₁体积的最大值是20。
其中正确结论的是          。（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

（1）（4）

解：（1）先求出球的半径，然后求PE的长+半径；
（2）P到平面EBC的距离+半径就是P到平面EBC的距离最大值；
（4）三棱锥P-AEC₁体积的表达式，再求最大值；大圆和小圆的面积可以判断（3）的正确性．即为
由题意可知球心在体对角线的中点，直径为
半径是5，那么PE长的最大值是5+ 正确
点P到命题 距离的最大值为5+，因此体积表示不正确。
球的大圆面积是25π，过E与球心连线垂直的平面是小圆，面积为9π，因而（3）是错误的．
三棱锥P-AEC₁体积的最大值是V= S_△AEC1•h= × ×3×8×5=20（h最大是半径）正确．