题目内容

1.如图,在三棱锥P-ABC中,平面APC⊥平面ABC,且PA=PB=PC=4,AB=BC=2.
(1)求三棱锥P-ABC的体积VP-ABC
(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

分析 (1)取AC中点O,连结PO,BO,证明OP⊥平面ABC,利用三棱锥的体积公式,即可求三棱锥P-ABC的体积VP-ABC
(2)建立如图所示的空间直角坐标系.求出平面PBC的法向量,利用向量的夹角公式,即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

解答 解:(1)取AC中点O,连结PO,BO,
∵PA=PC,AB=BC,∴OP⊥AC,OB⊥AC,
又∵平面APC⊥平面ABC,∴OP⊥平面ABC…(2分),
∴OP⊥OB,∴OP2+OB2=PB2
即16-OC2+4-OC2=16,得OC=$\sqrt{2}$,
则OA=$\sqrt{2}$,OB=$\sqrt{2}$,OP=$\sqrt{14}$,AC=2$\sqrt{2}$,…(4分)
∴S△ABC=$\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•\sqrt{2}$=2.
∴VP-ABC=$\frac{1}{3}•2•\sqrt{14}$=$\frac{2\sqrt{14}}{3}$.…(6分)
(2)建立如图所示的空间直角坐标系.
得O(0,0,0),A(0,-$\sqrt{2}$,0),B($\sqrt{2}$,0,0),C(0,$\sqrt{2}$,0),P(0,0,$\sqrt{14}$),…(8分)
∴$\overrightarrow{BC}$=(-$\sqrt{2},\sqrt{2},0$),$\overrightarrow{BP}$=(-$\sqrt{2}$,0,$\sqrt{14}$),
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z).
则$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0}\\{-\sqrt{2}x+\sqrt{14}z=0}\end{array}\right.$,取z=1,得$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{7}$,$\sqrt{7}$,1).(10分)
∵$\overrightarrow{AB}$=($\sqrt{2},\sqrt{2},0$),
∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{14}}{2\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{210}}{15}$.…(12分)

点评 本题考查线面垂直的判定,考查三棱锥体积的计算,考查线面角,正确运用向量方法是关键.

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