Question

13．如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=2，PC=4，∠APB=∠BPC=60°，cos∠APC=$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）平面PAB⊥平面PBC；
（Ⅱ）E为BC上的一点．若直线AE与平面PBC所成的角为30°，求BE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BC⊥平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面PBC；
（Ⅱ）取PB的中点F，连结EF，证明∠AEF是直线AE与平面PBC所成的角，利用直线AE与平面PBC所成的角为30°，即可求BE的长．

解答 （Ⅰ）证明：在△PAB中，由PA=PB=2，∠APB=60°，
得AB=2
在△PBC中，PB=2，PC=4，∠BPC=60°，
由余弦定理，得BC=2$\sqrt{3}$
在△PAC中，PA=2，PC=4，cos∠APC=$\frac{1}{4}$，
由余弦定理，得AC=4
因为AB²+BC²=AC²，所以AB⊥BC          …（4分）
又因为PB²+BC²=AC²，所以PB⊥BC
因为AB∩PB=B，所以BC⊥平面PAB                      …（6分）
又因为BC?平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC     …（7分）
（Ⅱ）取PB的中点F，连结EF，则AF⊥PB．
又因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，AF?平面PAB，
所以AF⊥平面PBC
因此∠AEF是直线AE与平面PBC所成的角，即∠AEF=30°   …（11分）
在正△PAB中，AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PA=$\sqrt{3}$．
在Rt△AEF中，AE=$\frac{AF}{sin30°}$=2$\sqrt{3}$
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$               …（15分）

点评 本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查直线与平面所成的角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．