题目内容

13.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=2,PC=4,∠APB=∠BPC=60°,cos∠APC=$\frac{1}{4}$.
(Ⅰ)平面PAB⊥平面PBC;
(Ⅱ)E为BC上的一点.若直线AE与平面PBC所成的角为30°,求BE的长.

分析 (Ⅰ)证明BC⊥平面PAB,即可证明平面PAB⊥平面PBC;
(Ⅱ)取PB的中点F,连结EF,证明∠AEF是直线AE与平面PBC所成的角,利用直线AE与平面PBC所成的角为30°,即可求BE的长.

解答 (Ⅰ)证明:在△PAB中,由PA=PB=2,∠APB=60°,
得AB=2
在△PBC中,PB=2,PC=4,∠BPC=60°,
由余弦定理,得BC=2$\sqrt{3}$
在△PAC中,PA=2,PC=4,cos∠APC=$\frac{1}{4}$,
由余弦定理,得AC=4
因为AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC          …(4分)
又因为PB2+BC2=AC2,所以PB⊥BC
因为AB∩PB=B,所以BC⊥平面PAB                      …(6分)
又因为BC?平面PBC,所以平面PAB⊥平面PBC     …(7分)
(Ⅱ)取PB的中点F,连结EF,则AF⊥PB.
又因为平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,AF?平面PAB,
所以AF⊥平面PBC
因此∠AEF是直线AE与平面PBC所成的角,即∠AEF=30°   …(11分)
在正△PAB中,AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PA=$\sqrt{3}$.
在Rt△AEF中,AE=$\frac{AF}{sin30°}$=2$\sqrt{3}$
在Rt△ABE中,BE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$               …(15分)

点评 本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定,考查直线与平面所成的角,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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