Question

13．已知函数f（x）=3x²-6x-5．
（1）求f（x）在[0，3]上的最大值；
（2）设g（x）=f（x）-2x²+mx，其中m∈R，求g（x）在区间[1，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的图象的对称轴为x=1，利用二次函数的性质求得f（x）在[0，3]上的最大值．
（2）根据g（x）的图象的对称轴方程为x=$\frac{6-m}{2}$=3-$\frac{m}{2}$，分类讨论求得它在区间[1，3]上的最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=3x²-6x-5的图象的对称轴为x=1，在[0，3]上，故当x=1时，函数f（x）取得最小值为-8，
当x=3时，函数f（x）取得最大值为4，
（2）g（x）=f（x）-2x²+mx=x²+（m-6）x-5 的图象的对称轴方程为x=$\frac{6-m}{2}$=3-$\frac{m}{2}$，
当3-$\frac{m}{2}$＜1，即m＞4时，g（x）在区间[1，3]上单调递增，故g（x）的最小值为g（1）=m-10；
当3-$\frac{m}{2}$＞3，即m＜0时，g（x）在区间[1，3]上单调递件，故g（x）的最小值为g（3）=3m-14；
当3-$\frac{m}{2}$∈[1，3]，即 m∈[0，4]时，g（x）的最小值为g（3-$\frac{m}{2}$）=$\frac{-20{-（m-6）}^{2}}{4}$=-$\frac{{m}^{2}-12m+56}{4}$．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．