题目内容

(本小题满分14分)

已知函数(为实数)有极值,且在处的切线与直线平行.

(1)求实数的取值范围;

(2)是否存在实数,使得函数的极小值为1,若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由;

(3)设,的导数为,令

求证:

 

【答案】

(1)  ;

(2)存在实数,使得函数f(x)的极小值为1 ;

(3)

∴其中等号成立的条件为x=1, 

【解析】(1)根据有两个不同的实数根,从而得到b,a的一个不等式,再根据得到a,b的等式,消去b,可以解出a的取值范围.

(2)直接求其极小值,根据极小值为1,求出a的值即可.

(3)先求出,然后问题的关键是

下面采用均值不等式进行证明即可.

解:(1)∵,∴,由题意∴f/(1)=1+2a-b=1,

∴b=2a.    ①      ……2分 

∵f(x)有极值,∴方程f/(x)=x2+2ax-b=0有两个不等实根.

∴△=4a2+4b>0、    ∴a2+b>0.    ②

由①、②可得,α2+2a>0.∴a<-2或a>0.故实数a的取值范围是4分

(2)存在.……………5分

由(1)可知,令f/(x)=0

∴x=x2时,f(x)取极小值,则f(x2)==1,

……………………………………………………7分

若x2=0,即则a=0(舍).……………………8分

∴存在实数,使得函数f(x)的极小值为1   ………9分

(3)∵,

  …….l0分

∴其中等号成立的条件为x=1…………………………………………………………13分

…………………………………………14分

 

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