题目内容

已知函数的定义域[-1,5],部分对应值如表,的导函数的图象如图所示,下列关于函数的命题;

x
-1
0
2
4
5
F(x)
1
2
1.5
2
1
 
①函数的值域为[1,2];
②函数在[0,2]上是减函数;
③如果当时,的最大值是2,那么t的最大值为4;
④当时,函数最多有4个零点.
其中正确命题的序号是             .

①②④

解析试题分析:由的导函数的图象可看出(如表格),



0
(0,2)
2
(2,4)
4


+
0
-
0
+
0
-

单调递增
 
单调递减
 
单调递增
 
单调递减
由表格可知:函数在区间[-1,0)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,4)上单调递增,在区间(4,5]上单调递增.∴②正确;
∴函数在x=0和x=4时,分别取得极大值,在x=2时取得极小值,且由对应值表f(0)=2,f(2)=1.5,f(4)=2,又f(-1)=1,f(5)=1.
∴函数的值域为[1,2].∴①正确;
根据已知的对应值表及表格画出图象如下图:

③根据以上知识可得:当时,的最大值是2,则t=0,或4.故③不正确;
④由图象可以看出:当1.5<a<2时,函数有4个零点;
当a=2时,函数有2个零点;当a=1.5时,函数有3个零点;
当1≤a<1.5时,函数有4个零点;
∴当1<a<2时,函数最多有4个零点.故④正确.
综上可知①②④正确.
故答案为①②④.
考点:应用导数研究函数的单调性、极值,函数的零点.

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