题目内容
已知函数的定义域[-1,5],部分对应值如表,的导函数的图象如图所示,下列关于函数的命题;
x | -1 | 0 | 2 | 4 | 5 |
F(x) | 1 | 2 | 1.5 | 2 | 1 |
①函数的值域为[1,2];
②函数在[0,2]上是减函数;
③如果当时,的最大值是2,那么t的最大值为4;
④当时,函数最多有4个零点.
其中正确命题的序号是 .
①②④
解析试题分析:由的导函数的图象可看出(如表格),
由表格可知:函数在区间[-1,0)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,4)上单调递增,在区间(4,5]上单调递增.∴②正确;0 (0,2) 2 (2,4) 4 + 0 - 0 + 0 - 单调递增 单调递减 单调递增 单调递减
∴函数在x=0和x=4时,分别取得极大值,在x=2时取得极小值,且由对应值表f(0)=2,f(2)=1.5,f(4)=2,又f(-1)=1,f(5)=1.
∴函数的值域为[1,2].∴①正确;
根据已知的对应值表及表格画出图象如下图:
③根据以上知识可得:当时,的最大值是2,则t=0,或4.故③不正确;
④由图象可以看出:当1.5<a<2时,函数有4个零点;
当a=2时,函数有2个零点;当a=1.5时,函数有3个零点;
当1≤a<1.5时,函数有4个零点;
∴当1<a<2时,函数最多有4个零点.故④正确.
综上可知①②④正确.
故答案为①②④.
考点:应用导数研究函数的单调性、极值,函数的零点.
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