已知向量$\overrightarrow{a}$=.$\overrightarrow{b}$=.|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$．(1)求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值,(2)若0＜α＜$\frac{π}{2}$.-$\frac{π}{2}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值；
（2）若0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，且sinβ=-$\frac{3}{5}$，求sin（α+β）的值．

分析（1）由已知模的等式两边平方，得到所求；
（2）由（1）求出α-β，得到sin（α+β）=sin（$\frac{π}{2}$+2β）=cos2β，进一步利用倍角公式求值．

解答解：（1）因为|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，
所以|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=2即${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=2$，
又${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$=1，
所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0；
（2）因为0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，且sinβ=-$\frac{3}{5}$，
所以0＜α-β＜π，
又$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=0，
所以$α-β=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{2}+β$，
所以sin（α+β）=sin（$\frac{π}{2}$+2β）=cos2β=1-2sin²β=1-2×$\frac{9}{25}$=$\frac{7}{25}$．

点评本题考查了平面向量的数量积、模的运算以及三角函数的化简求值．比较基础．