题目内容

【题目】已知向量a=(1,sin x),b=,函数f(x)=a·b-cos 2x.

(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间;

(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据向量的数量积公式和两角和与差的正弦和余弦公式，以及二倍角公式，化简即可求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质即可求出答案；（2）根据正弦函数的单调性即可求出函数的值域．

(1)函数f(x)=a·b-cos 2x=cos 2xcos -sin 2xsin cos 2x=-sin.

由2kπ+≤2x+≤2kπ+,可得kπ+≤x≤kπ+,故单调递增区间为:.

(2)当x∈时,可得2x+,因此sin,所以函数f(x)的值域是.

练习册系列答案
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【题目】已知数列{an}满足an+2﹣2an+1+an=0（n∈N*），a2=4，其前7项和为42，设数列{bn}是等比数列，数列{bn}的前n项和为Sn满足b1=a1﹣1，S30﹣（310+1）S20+310S10=0．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）令cn=1+log3 ，dn= + ，求证：数列{dn}的前n项和Tn≥ ．

【题目】已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，M为椭圆上任意一点，当∠F1MF2＝90°时，△F1MF2的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线AF1，AF2分别与椭圆交于点B，D，设直线BD的斜率为k1，直线OA的斜率为k2，求证：k1·k2等于定值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由题意可求得，则，椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，，

当直线的斜率不存在或直线的斜率不存在时，.

当直线、的斜率存在时，,设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理计算可得直线的斜率为，直线的斜率为，则.综上可得：直线与的斜率之积为定值.

（Ⅰ）设由题，

解得，则，椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，，当直线的斜率不存在时，

设，则，直线的方程为代入，

可得 ，，则,

直线的斜率为，直线的斜率为，

，

当直线的斜率不存在时，同理可得.

当直线、的斜率存在时，设直线的方程为，

则由消去可得：，

又，则，代入上述方程可得:

，，

则 ，

设直线的方程为，同理可得 ，

直线的斜率为

直线的斜率为， .

所以，直线与的斜率之积为定值，即.

【点睛】

(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

【题型】解答题
【结束】
21

【题目】已知函数f（x）＝（x＋b）（－a），（b＞0），在（－1，f（－1））处的切线方程为（e－1）x＋ey＋e－1＝0．

（Ⅰ）求a，b；

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【题目】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?

（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;

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（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;

（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;

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（Ⅰ）求椭圆C的方程；
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（Ⅱ）判断ABCD能否为菱形，并说明理由．
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