Question

【题目】已知F是抛物线C：x2＝4y的焦点，过E（0，﹣1）的直线l与抛物线分別交于A，B两点．

（1）设直线AF，BF的斜率分別为k1，k2，证明：k1+k2＝0；

（2）若的面积为，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）y＝±2x﹣1．

【解析】

（1）当直线l的斜率为不存在时，易得不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx﹣1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，与x2＝4y联立，利用韦达定理以及斜率关系，化简即可得证；

（2）由题意，解得k，然后求出直线l的方程，即可得解.

（1）证明：当直线l的斜率为不存在时，l与抛物线只有一个交点，不合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx﹣1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

与x2＝4y联立得：x2﹣4kx+4＝0，，解得或，

则x1+x2＝4k，x1x2＝4，

抛物线C：x2＝4y的焦点，

∴，

得证；

（2）由题意

，

解得k＝±2，

∴直线l的方程为：y＝±2x﹣1．