题目内容

【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AA1=AB=AC,BC= AB,且AA1⊥平面ABC,点M、Q分别是BC、CC1的中点,点P是棱A1B1上的任一点.

(1)求证:AQ⊥MP;
(2)若平面ACC1A1与平面AMP所成的锐角二面角为θ,且cosθ= ,试确定点P在棱A1B1上的位置,并说明理由.

【答案】
(1)证明:∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=AB=AC,BC= AB,

∴由已知得AB2+AC2=BC2,∴AB⊥AC,

又AA1⊥平面ABC,∴AA1,AB,AC两两垂直,

如图,

以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,

设AB=1,则A(0,0,0),C(0,1,0),B(1,0,0),M( ,0),Q(0,1, ),

设P(x0,0,1),(0≤x0≤1),

=(0,1, ), =( ,﹣ ,1),

=0﹣ + =0,∴

∴AQ⊥MP


(2)解:由已知得AB⊥平面ACC1A1

∴平面ACC1A1的一个法向量为 =(1,0,0),

=( ,0), =(x0,0,1),

设平面AMP的一个法向量 =(x,y,z),

,取x=1,得 =(1,﹣1,﹣x0),

∵平面ACC1A1与平面AMP所成的锐角二面角为θ,且cosθ=

∴cosθ=|cos< >|= = =

解得x0=

∴P( ,0,1),∴P是棱A1B1的中点.


【解析】(1)由勾股定理得AB⊥AC,以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明AQ⊥MP.(2)求出平面ACC1A1的一个法向量和平面AMP的一个法向量,利用向量法能求出P( ,0,1),P是棱A1B1的中点.
【考点精析】关于本题考查的空间中直线与直线之间的位置关系,需要了解相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点才能得出正确答案.

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