Question

已知函数，.

（Ⅰ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）如果当时，关于的不等式在实数范围内总有解，求实数的取值范围.

Answer 1

Ⅰ）已知对任意，恒成立，则，

即对任意，不等式恒成立.

令，当时，

所以在上单调递增，

函数有最小值，最小值为，

所以，解得；

（Ⅱ）因为，所以

      因为，所以

      由

     

所以时，函数单调递减，

时，函数单调递增，

      所以

                

      因为不等式在实数范围内总有解，

      则不等式恒成立，

即当时，不等式恒成立.

令， ，则，

，即时，函数单调递增，

，即时，函数单调递减，

所以函数有最小值，最小值为，

所以.