题目内容
如图，已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，准线为直线l，P为抛物线上的一点，过点P作l的垂线，垂足为点Q．当P的横坐标为3时，△PQF为等边三角形．（1）求抛物线的方程；
（2）过点F的直线交抛物线于A，B两点，交直线l于点M，交y轴于G．
①若
| MA |
| AF |
| MB |
| BF |
②求
| GA |
| GB |
分析：（1）利用抛物线的定义求出△PQF的边长为3+
，写出有关点的坐标，利用两点距离的公式得到|FQ|，列出方程求出p的值，得到抛物线的方程．
（2）①设出直线的方程，求出M，G的坐标，将已知条件
=λ1
，
=λ2
用坐标表示，求出λ1+λ2为常数．
②将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到A，B的坐标和与积，；利用向量的数量积公式表示出
•
，将韦达定理得到值代入，求出其范围．
| p |
| 2 |
（2）①设出直线的方程，求出M，G的坐标，将已知条件
| MA |
| AF |
| MB |
| BF |
②将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到A，B的坐标和与积，；利用向量的数量积公式表示出
| GA |
| GB |
解答：解：（1）据题意知，P（3，
），△PQF为等边三角形，其边长为3+
，Q（-
，
)，F(
，0)
所以
=3+
，解得p=2
所以抛物线的方程y2=4x
（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x-1）
所以
=(1-x1，-y1)；
=(1-x2，-y2)
M（-1，-3k），G（0，-k）
所以
=(x1+1，y1+3k)；
=(x2+1，y2+3k)
因为
=λ1
；
=λ2
所以λ1=λ2=1，所以λ1+λ2=2
②由
得k2x2-（2k2+4）x+k2=0
△=16k2+16＞0
所以x1+x2=
，x1•x2=1，
y1•y2=k（x1-1）•k（x2-1）=-4；y1+y2=k（x1-1）+k（x2-1）=
所以
•
=x1x2+y1y2+k(y1+y2)+k2
=k2+1≥1
所以
•
的取值范围为[1，+∞）
| 6p |
| p |
| 2 |
| p |
| 2 |
| 6p |
| p |
| 2 |
所以
| p2+6p |
| p |
| 2 |
所以抛物线的方程y2=4x
（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x-1）
所以
| AF |
| BF |
M（-1，-3k），G（0，-k）
所以
| MA |
| MB |
因为
| MA |
| AF |
| MB |
| BF |
所以λ1=λ2=1，所以λ1+λ2=2
②由
|
△=16k2+16＞0
所以x1+x2=
| 2k2+4 |
| k2 |
y1•y2=k（x1-1）•k（x2-1）=-4；y1+y2=k（x1-1）+k（x2-1）=
| 4 |
| k |
所以
| GA |
| GB |
=k2+1≥1
所以
| GA |
| GB |
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点恰好是椭圆| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
A、
| ||||
B、2(
| ||||
C、
| ||||
D、
|
过抛物线焦点垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通径．如图，已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，过A、B作准线的垂线，垂足分别为A1、B1．
（2012•西城区一模）如图，已知抛物线y2=x及两点A1（0，y1）和A2（0，y2），其中y1＞y2＞0．过A1，A2分别作y轴的垂线，交抛物线于B1，B2两点，直线B1B2与y轴交于点A3（0，y3），此时就称A1，A2确定了A3．依此类推，可由A2，A3确定A4，…．记An（0，yn），n=1，2，3，…．
如图，已知抛物线y2=2px（p＞0），过它的焦点F的直线l与其相交于A，B两点，O为坐标原点．