Question

（2012•西城区一模）如图，已知抛物线y²=x及两点A₁（0，y₁）和A₂（0，y₂），其中y₁＞y₂＞0．过A₁，A₂分别作y轴的垂线，交抛物线于B₁，B₂两点，直线B₁B₂与y轴交于点A₃（0，y₃），此时就称A₁，A₂确定了A₃．依此类推，可由A₂，A₃确定A₄，…．记A_n（0，y_n），n=1，2，3，…．
给出下列三个结论：
①数列{y_n}是递减数列；
②对?n∈N^*，y_n＞0；
③若y₁=4，y₂=3，则y5=

2

3

．
其中，所有正确结论的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：先确定直线B_n-1B_n-2的方程，求得yn=

yn-2yn-1

yn-2+yn-1

，由此即可得到结论．

解答：解：由题意，B_n-1（yn-12，yn-1），B_n-2（yn-22，yn-2），则直线B_n-1B_n-2的方程为y-yn-1=

1

yn-2+yn-1

(x-yn-12)
令x=0，则y-yn-1=

1

yn-2+yn-1

×(-yn-12)，∴y=

yn-2yn-1

yn-2+yn-1

∴yn=

yn-2yn-1

yn-2+yn-1

∴

1

yn

=

1

yn-1

+

1

yn-2

∵y₁＞y₂＞0，∴y_n＞0，故②正确；

1

yn

-

1

yn-1

=

1

yn-2

＞0，∴y_n＜y_n-1，故①正确；
若y₁=4，y₂=3，则y3=

12

7

，y₄=

12

11

，y5=

2

3

，故③正确．
故答案为：①②③．

点评：本题考查数列与解析几何的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．