Question

3．已知函数f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）如果x∈[1，4]，求函数h（x）=（f（x）+1）g（x）的值域；
（2）求函数$M（x）=\frac{{f（x）+g（x）-|{f（x）-g（x）}|}}{2}$的最大值；
（3）如果对不等式$f（{x^2}）f（{\sqrt{x}}）＞kg（x）$中的任意x∈（4，8），不等式恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出h（x）=-2log²₂x+4log₂x，可令log₂x=t，t∈[0，2]，从而得到二次函数y=-2（t-1）²+2，根据t的范围即可得出y的范围，即得出函数h（x）的值域；
（2）去绝对值号得到M（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x}&{0＜x≤2}\\{3-2lo{g}_{2}x}&{x＞2}\end{array}\right.$，然后根据对数函数的单调性即可得出M（x）的单调性，根据M（x）的单调性即可得出M（x）的值域；
（3）根据$f（{x}^{2}）f（\sqrt{x}）＞kg（x）$可得到4log²₂x-15log₂x+9＞klog₂x，根据log₂x∈（2，3）便可得出$k＜4lo{g}_{2}x+\frac{9}{lo{g}_{2}x}-15$，可令log₂x=t，从而得到y=$4t+\frac{9}{t}-15$，根据导数可判断出该函数为增函数，从而可求出y的范围，即得出k的取值范围．

解答 解：（1）$h（x）=[4-2lo{g}_{2}x]lo{g}_{2}x=-2lo{{g}^{2}}_{2}x+4lo{g}_{2}x$；
x∈[1，4]，∴log₂x∈[0，2]，令log₂x=t，t∈[0，2]，设y=h（x），则：
y=-2t²+4t=-2（t-1）²+2；
∴t=1时y取最大值2，t=0，或t=2时y取最小值0；
∴0≤y≤2；
即h（x）的值域为[0，2]；
（2）$|f（x）-g（x）|=|3-3lo{g}_{2}x|=\left\{\begin{array}{l}{3-3lo{g}_{2}x}&{0＜x≤2}\\{3lo{g}_{2}x-3}&{x＞2}\end{array}\right.$；
∴$M（x）=\frac{3-lo{g}_{2}x-|f（x）-g（x）|}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x}&{0＜x≤2}\\{3-2lo{g}_{2}x}&{x＞2}\end{array}\right.$；
∴①0＜x≤2时，M（x）为增函数，∴M（x）≤M（2）=log₂2=1；
即M（x）≤1；
②x＞2时，M（x）为减函数，∴M（x）＜M（2）=3-2=1；
即M（x）＜1；
∴M（x）≤1；
∴M（x）的最大值为1；
（3）由$f（{x}^{2}）f（\sqrt{x}）＞kg（x）$得，$（3-2lo{g}_{2}{x}^{2}）（3-2lo{g}_{2}\sqrt{x}）＞klo{g}_{2}x$；
∴（3-4log₂x）（3-log₂x）＞klog₂x对于任意x∈（4，8）恒成立；
x∈（4，8）时，log₂x∈（2，3），log₂x＞0；
∴$k＜4lo{g}_{2}x+\frac{9}{lo{g}_{2}x}-15$，设y=$4lo{g}_{2}x+\frac{9}{lo{g}_{2}x}-15$，令log₂x=t，t∈（2，3），则：
$y=4t+\frac{9}{t}-15$，$y′=\frac{4{t}^{2}-9}{{t}^{2}}$；
∴t∈（2，3）时，y′＞0；
即y=4t$+\frac{9}{t}-15$在（2，3）上单调递增；
∴$4•2+\frac{9}{2}-15＜y＜4•3+\frac{9}{3}-15$；
∴$-\frac{5}{2}＜k＜0$；
∴实数k的取值范围为（$-\frac{5}{2}，0$）．

点评 考查函数值域的概念，换元法求函数的值域，对数函数的单调性，配方求二次函数值域的方法，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，根据单调性求函数的值域．