Question

13．设f（x）=log_ag（x）（a＞0，且a≠1）
（1）若f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-1），且满足f（x）＞1，求x的取值范围：
（2）若g（x）=ax²-x，是否存在实数a使得f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，3]上是增函数？如果存在，说明a可以取哪些值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将不等式转化为log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-1）＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{2}$，利用对数函数的单调性得出0＜3x-1＜$\frac{1}{2}$，继而得出答案．
（2）假设存在实数a使得f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，3]上是增函数，则①当a＞1时，g（x）=ax²-x在区间[$\frac{1}{2}$，3]为增函数，且g_min（x）＞0；
②当0＜a＜1，g（x）=ax²-x在区间[$\frac{1}{2}$，3]为减函数，且g_min（x）＞0，再利用二次函数的单调性与对称轴的分别列出不等式组解出即可．

解答 解：（1）∵f（x）＞1
∴log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-1）＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{2}$，
∴0＜3x-1＜$\frac{1}{2}$，
解得：$\frac{1}{3}＜x＜\frac{1}{2}$．
（2）假设存在实数a使得f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，3]上是增函数，则
①当a＞1时，g（x）=ax²-x在区间[$\frac{1}{2}$，3]为增函数，且g（$\frac{1}{2}$）＞0．
∵g（x）=ax²-x图象开口向上，对称轴为x=$\frac{1}{2a}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≤\frac{1}{2}}\\{\frac{a}{4}-\frac{1}{2}＞0}\end{array}\right.$，解得：a＞2．
②当0＜a＜1，g（x）=ax²-x在区间[$\frac{1}{2}$，3]为减函数，且g（3）＞0，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≥3}\\{9a-3＞0}\end{array}\right.$，无解．
综上所述，存在实数a使得f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，3]上是增函数，a的取值范围是（2，+∞）．

点评 本题考查了对数函数单调性的应用，及其复合函数的单调性．注意函数的定义域．是中档题．