Question

【题目】已知圆C经过点A（1，1）和B（4，﹣2），且圆心C在直线l：x+y+1=0上．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）设M，N为圆C上两点，且M，N关于直线l对称，若以MN为直径的圆经过原点O，求直线MN的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（4，﹣2）∴直线AB的斜率
∴直线AB的垂直平分线的斜率为1
又线段AB的中点坐标为
∴线段AB的垂直平分线的方程是 ，即x﹣y﹣3=0
∵圆心C在直线l：x+y+1=0上
∴圆心C的坐标是方程组 的解，得圆心C的坐标（1，﹣2）
∴圆C的半径长
∴圆C的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2=9
（Ⅱ）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为r
∵M，N是圆C上的两点，且M，N关于直线l：x+y+1=0对称
∴点P在直线l：x+y+1=0上
∴可以设点P坐标为（m，﹣1﹣m）
∵以MN为直径的圆经过原点O
∴以MN为直径的圆的半径长
∵MN是圆C的弦，
∴|CP|2+r2=9，即（m﹣1）2+（m﹣1）2+m2+（m+1）2=9，解得m=﹣1或
∴点P坐标为（﹣1，0）或
∵直线MN垂直直线l：x+y+1=0，
∴直线MN的斜率为1
∴直线MN的方程为：x﹣y+1=0或x﹣y﹣4=0
【解析】（Ⅰ）根据题意，分析可得圆C的圆心是线段AB的垂直平分线与直线l的交点，先求出线段AB的垂直平分线的方程，与直线l联立可得圆心C的坐标，进而可得圆的半径，即可得答案；（Ⅱ）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为r，可以设p的坐标为（m，﹣1﹣m），结合直线与圆的位置关系可得（m﹣1）2+（m﹣1）2+m2+（m+1）2=9，解得m的值，即可得p的坐标，分析可得直线MN的斜率为1，由直线的点斜式方程可得答案．