题目内容
【题目】已知幂函数(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数,若g(x)>2对任意的x∈R恒成立,求实数c的取值范围.
【答案】(1)f(x)=x4;(2)(3,+∞).
【解析】(1)∵f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,
∴m2+2m+3>0,即m22m3<0,解得1<m<3.
又m∈Z,∴m=0,1,2,
而m=0,2时,f(x)=x3不是偶函数,m=1时,f(x)=x4是偶函数.
∴f(x)=x4.
(2)由(1)知f(x)=x4,则g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+(c1).
∴g(x)min= c1.
∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立,
∴g(x)min>2,且x∈R,即c1>2,解得c>3.
故实数c的取值范围是(3,+∞).
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