Question

9．若数列{a_n}满足a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{2n+1，n＞1}\end{array}\right.$且数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求S_n；
（2）求证：$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+\frac{1}{{S}_{3}}$+…$+\frac{1}{{S}_{n}}$$＞\frac{n}{2n+4}$．

Answer 1

分析 （1）讨论n=1和n＞1时，运用等差数列的求和公式，计算即可得到；
（2）由$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＞$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．

解答 解：（1）当n=1时，S₁=a₁=4；
当n＞1时，S_n=4+5+7+…+2n+1=1+$\frac{1}{2}$n（2n+4）
=n²+2n+1=（n+1）²，对n=1也成立，
则S_n=（n+1）²；
（2）证明：由$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＞$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
即有$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＞$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2n+4}$．
故原不等式成立．

点评 本题考查等差数列的求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式的放缩法的运用，属于中档题．