Question

9．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+a，0＜x≤1}\\{-{x}^{2}-2x+1，-3≤x≤0}\end{array}\right.$的值域为[-2，2]则实数a的取值范围是（　　）

• A． [0，+∞]
• B． [0，3]
• C． [-3.0]
• D． （-3，0）

Answer 1

分析 根据指数函数的单调性及二次函数值域的求法，求出每段上f（x）的范围：1+a＜f（x）≤2+a，或-2≤f（x）≤2，从而得到a满足$\left\{\begin{array}{l}{1+a≥-2}\\{2+a≤2}\end{array}\right.$，解该不等式组即可得出实数a的取值范围．

解答 解：①0＜x≤1时，f（x）=2^x+a；
∴f（x）在（0，1]上单调递增；
∴f（0）＜f（x）≤f（1）；
即1+a＜f（x）≤2+a；
②-3≤x≤0时，f（x）=-x²-2x+1=-（x+1）²+2≤2；
又f（-3）=-2，f（0）=1；
∴此时-2≤f（x）≤2；
又f（x）的值域为[-2，2]；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1≥-2}\\{2+a≤2}\end{array}\right.$；
∴-3≤a≤0；
∴实数a的取值范围为[-3，0]．
故选：C．

点评 考查函数值域的概念，分段函数值域的求法，指数函数的单调性，以及二次函数值域的求法，要熟悉二次函数的图象．