题目内容
【题目】已知函数(
).
(1)当时,判断
的单调性;
(2)若函数无零点,求a的取值范围.
【答案】(1)在上单调递增,在
,
上单调递减(2)
【解析】
(1)先求导数,再求导函数零点,根据零点讨论导函数符号变化规律,即得函数单调性;
(2)先根据且函数
无零点,得
恒成立,方法一:对
分类讨论并参变分离,转化为求对应函数最值,再根据导数求对应函数最值,即可得结果;方法二:转化研究
单调性,对
分类讨论,结合单调性确定
最值,即得结果.
解:(1)当时,
,
,
令得
;令
得
或
.
在
上单调递增,在
,
上单调递减.
(2)方法一:因为 ,且函数
无零点,
,
成立,即
恒成立,
.
①当时,
恒成立,
.
②当时,
,令
,则
,
,
又在
上单调递增,且
时,
,
令得
,
,
x | 1 | ||
0 | |||
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
,
.
③当时,
,则
.
又在
上单调递增,
,
令得
,即
,
x | |||
0 | |||
单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
,
.
综上,.
方法二:因为,且函数
无零点,
,
成立,即
恒成立,
恒成立,即
恒成立.
而,
①当时,
在
,
单调递减,在
单调递增,
的极大值为
,
恒成立,即极大值
且当
时,
.
(i)若,且
在
单调递增,
有,
此时成立.
(ii)由得
,
②当时,
成立.
③当时,
在
,
单调递减,在
单调递增,
的极大值为
,
恒成立,即极大值
且当
时,
.
(i)若,因为
在
单调递增,且
,
有,
此时成立.
(ii)由得
.
综上,.

【题目】某省即将实行新高考,不再实行文理分科.某校研究数学成绩优秀是否对选择物理有影响,对该校2018级的500名学生进行调在收集到相关数据如下:
选物理 | 不选物理 | 总计 | |
数学成绩优秀 | |||
数学成绩不优秀 | 130 | ||
总计 | 300 | 500 |
(1)根据以上提供的信息,完成列联表,并完善等高条形图;
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关?
附:.
临界值表:
P( | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879> | 10.828 |
【题目】假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y万元有如下的统计资料:
x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
(1)画出散点图并判断是否线性相关;
(2)如果线性相关,求线性回归方程;
(3)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?
附注:①参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为
;
②参考数据: