题目内容
已知a,b,c∈N*,方程ax2+bx+c=0在区间(-1,0)上有两个不同的实根,求a+b+c的最小值.
设x1和x2方程ax2+bx+c=0有两个相异根,由a,b,c∈N*,
两个根都在区间(-1,0)上,
可得函数f(x)=ax2+bx+c在区间(-1,0)上与x轴有两个不同的交点,
故有f(-1)=a+c-b>0,且f(0)=c>0,且△=b2-4ac>0,
且 x1+x2=-
∈(-2,0),且x1•x2=
∈(0,1).
故c的最小值为1,故有
.
当a=2时,正整数b不存在;当a=3时,正整数b不存在;
当a=4时,正整数b不存在;当a=5时,存在正整数b=5.
综上可得,c的最小值为1,a的最小值为5,b的最小值为5,
故a+b+c的最小值为1+5+5=11.
两个根都在区间(-1,0)上,
可得函数f(x)=ax2+bx+c在区间(-1,0)上与x轴有两个不同的交点,
故有f(-1)=a+c-b>0,且f(0)=c>0,且△=b2-4ac>0,
且 x1+x2=-
b |
a |
c |
a |
故c的最小值为1,故有
|
当a=2时,正整数b不存在;当a=3时,正整数b不存在;
当a=4时,正整数b不存在;当a=5时,存在正整数b=5.
综上可得,c的最小值为1,a的最小值为5,b的最小值为5,
故a+b+c的最小值为1+5+5=11.
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