题目内容

设函数f(x)=
1
x
,g(x)=-x2+bx.若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是(  )
A.x1+x2>0,y1+y2>0B.x1+x2>0,y1+y2<0
C.x1+x2<0,y1+y2>0D.x1+x2<0,y1+y2<0
设F(x)=x3-bx2+1,则方程F(x)=0与f(x)=g(x)同解,故其有且仅有两个不同零点x1,x2
由F'(x)=0得x=0或x=
2
3
b
.这样,必须且只须F(0)=0或F(
2
3
b)=0

因为F(0)=1,故必有F(
2
3
b)=0
由此得b=
3
2
32
.不妨设x1<x2,则x2=
2
3
b=
32
.所以F(x)=(x-x1)(x-
32
)2

比较系数得-x1
34
=1
,故x1=-
1
2
32
.x1+x2=
1
2
32
>0

由此知y1+y2=
1
x1
+
1
x2
=
x1+x2
x1x2
<0

故选B.
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