Question

椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．

（Ⅰ）当|CD|=时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．

Answer 1

（Ⅰ）y=x+1（Ⅱ）见解析

试题分析：（Ⅰ）根据椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），焦点F（0，1），可知椭圆的焦点在y轴上，b=1，c=1，，可以求得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可求出直线l的方程；
（Ⅱ）根据过其焦点F（0，1）的直线l的方程可求出点P的坐标，该直线与椭圆交于C、D两点，和直线AC与直线BD交于点Q，求出直线AC与直线BD的方程，解该方程组即可求得点Q的坐标，代入即可证明结论．
（Ⅰ）∵椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），
由已知得b=1，c=1，所以a=，
椭圆的方程为，
当直线l与x轴垂直时与题意不符，
设直线l的方程为y=kx+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
将直线l的方程代入椭圆的方程化简得（k²+2）x²+2kx﹣1=0，
则x₁+x₂=﹣，x₁•x₂=﹣，
∴|CD|==
==，
解得k=．
∴直线l的方程为y=x+1；
（Ⅱ）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符，
设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴P点的坐标为（﹣，0），
由（Ⅰ）知x₁+x₂=﹣，x₁•x₂=﹣，
且直线AC的方程为y=，且直线BD的方程为y=，
将两直线联立，消去y得，
∵﹣1＜x₁，x₂＜1，∴与异号，
=
=，
y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1==﹣，
∴与y₁y₂异号，与同号，
∴=，解得x=﹣k，
故Q点坐标为（﹣k，y₀），
=（﹣，0）•（﹣k，y₀）=1，
故为定值．
点评：此题是个难题．本题考查了椭圆的标准方程和简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．体现了分类讨论和数形结合的思想