题目内容

已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形,又PD⊥底ABCD,且PD=CD,点M、N分别是棱AD、PC的中点.
(1)证明:DN平面PMB;
(2)证明:平面PMB⊥平面PAD;
(3)求点A到平面PMB的距离.
(1)证明:取PB中点Q,连接MQ、NQ,
因为M、N分别是棱AD、PC中点,
所以QNBCMD,且QN=MD,于是DNMQ.
DNMQ
MQ⊆平面PMB
DN?平面PMB
⇒DN平面PMB.

(2)
PD⊥平面ABCD
MB⊆平面ABCD
⇒PD⊥MB
又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形,且M为AD中点,
所以MB⊥AD.
又AD∩PD=D,
所以MB⊥平面PAD.
MB⊥平面PAD
MB⊆平面PMB
⇒平面PMB⊥平面PAD.

(3)因为M是AD中点,所以点A与D到平面PMB等距离.
过点D作DH⊥PM于H,由(2)平面PMB⊥平面PAD,所以DH⊥平面PMB.
故DH是点D到平面PMB的距离.DH=
a
2
×a
5
2
a
=
5
5
a

∴点A到平面PMB的距离为
5
5
a

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