题目内容
已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形,又PD⊥底ABCD,且PD=CD,点M、N分别是棱AD、PC的中点.
(1)证明:DN∥平面PMB;
(2)证明:平面PMB⊥平面PAD;
(3)求点A到平面PMB的距离.

(1)证明:DN∥平面PMB;
(2)证明:平面PMB⊥平面PAD;
(3)求点A到平面PMB的距离.

(1)证明:取PB中点Q,连接MQ、NQ,
因为M、N分别是棱AD、PC中点,
所以QN∥BC∥MD,且QN=MD,于是DN∥MQ.
⇒DN∥平面PMB.
(2)
⇒PD⊥MB
又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形,且M为AD中点,
所以MB⊥AD.
又AD∩PD=D,
所以MB⊥平面PAD.
⇒平面PMB⊥平面PAD.
(3)因为M是AD中点,所以点A与D到平面PMB等距离.
过点D作DH⊥PM于H,由(2)平面PMB⊥平面PAD,所以DH⊥平面PMB.
故DH是点D到平面PMB的距离.DH=
=
a.
∴点A到平面PMB的距离为
a.

因为M、N分别是棱AD、PC中点,
所以QN∥BC∥MD,且QN=MD,于是DN∥MQ.
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(2)
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又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形,且M为AD中点,
所以MB⊥AD.
又AD∩PD=D,
所以MB⊥平面PAD.
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(3)因为M是AD中点,所以点A与D到平面PMB等距离.
过点D作DH⊥PM于H,由(2)平面PMB⊥平面PAD,所以DH⊥平面PMB.
故DH是点D到平面PMB的距离.DH=
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∴点A到平面PMB的距离为
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