题目内容
已知函数,,(其中),设.
(Ⅰ)当时,试将表示成的函数,并探究函数是否有极值;
(Ⅱ)当时,若存在,使成立,试求的范围.
(Ⅰ)当时在定义域内有且仅有一个极值,当时在定义域内无极值;
(Ⅱ)或
解析试题分析:(Ⅰ)观察与的特点,可得,,,即可得到函数,观察此函数特征可想到对其求导得,由二次函数的图象不难得出在上有解的条件,进而求出的范围; (Ⅱ)由可得,又由可得,故可令函数的最大值为正,对函数求导令其为0得求出,由与,和与的大小关系对进行分类讨论,并求出各自情况的最大值,由最大值大于零即可求出的范围.
试题解析:(Ⅰ)∵,
,
∴ ∴ (3分)
设是的两根,则,∴在定义域内至多有一解,
欲使在定义域内有极值,只需在内有解,且的值在根的左右两侧异号,∴得 (6分)
综上:当时在定义域内有且仅有一个极值,当时在定义域内无极值.
(Ⅱ)∵存在,使成立等价于的最大值大于0,
∵,∴,
∴得.
当时,得;
当时,得 (12分)
当时,不成立 (13分)
当时,得;
当时,得;
综上得:或 (16分)
考点:1.代数式的化简;2.函数的极值;3.导数在函数中的运用
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