Question

给出下列四个命题：
①如果椭圆

x2

36

+

y2

9

=1的一条弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线的斜率为-

1

2

；
②过点P（0，1）与抛物线y²=x有且只有一个交点的直线共有3条．
③双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为b．
④已知抛物线y²=2px上两点A（x₁，x₂），B（x₂，y₂）且OA⊥OB（O为原点），则y₁y₂=-p²．
其中正确的命题有

①②③

（请写出你认为正确的命题的序号）

Answer 1

分析：①利用直线和椭圆的位置关系判断．②利用直线和抛物线的位置关系判断．
③利用双曲线的定义和方程判断．④利用直线和抛物线的位置关系判断．

解答：解：①设弦的端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
将A、B坐标代入椭圆方程

x 2 1 36 + y 2 1 9 =1 x 2 2 36 + y 2 2 9 =1

，两式相减得

x 2 1 - x 2 2

36

+

y 2 1 - y 2 2

9

=1，
即

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

1

2

，所以这条弦所在的直线的斜率为-

1

2

，所以①正确．
②当过点P（0，1）的直线存在斜率时，设其方程为：y=kx+1，
由

y=kx+1 y2=x

，消y得k²x²+（2k-1）x+1=0，
若k=0，方程为-x+1=0，解得x=1，此时直线与抛物线只有一个交点（1，1）；
若k≠0，令△=（2k-1）²-4k²=0，解得k=

1

4

，此时直线与抛物线相切，只有一个交点；
当过点P（0，1）的直线不存在斜率时，该直线方程为x=0，与抛物线相切只有一个交点；
综上，过点P（0，1）与抛物线y²=x有且只有一个交点的直线有3条．所以②正确．
③双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为y=±

b

a

x，即bx-ay=0，所以焦点到渐近线的距离
d=

|bc|

a2+b2

=

bc

c

=b，所以③正确．
④A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线y²=2px（p＞0）上的两点，并且满足OA⊥OB．
∴k_OA•k_OB=-1，∴x₁x₂+y₁y₂=0，则

(y1y2)2

4p2

+y1y2=0，解得y₁y₂=-4p²，所以④错误．
故答案为：①②③．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的判断，综合性较强．