Question

16．如图，相距14km的两个居民小区M和N位于河岸l（直线）的同侧，M和N距离河岸分别为10km和8km．现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，从P排直线水管PM，PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ段长为t km（0＜t＜8）．
（1）求污水处理站P到两小区的水管的总长最小值（用t表示）；
（2）请确定污水处理站P的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．

Answer 1

分析 （1）如图，以河岸l所在直线为x轴，以过M垂直于l的直线为y轴建立坐标系，设P（s，t），过P作平行于x轴的直线m，作N关于m的对称点N′，则N′（8$\sqrt{3}$，2t-8），PM+PN=PM+PN′≥MN′，可得结论；
（2）由（1）知L=PM+PN+PQ≥t+2$\sqrt{{t}^{2}-18t+129}$（0＜t＜8），（L-t）²=4（t²-18t+129）在t∈（0，8）上有解，即3t²+（2L-72）t+（516-L²）=0在t∈（0，8）上有解，从而可得处理站P的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．

解答 解：（1）如图，以河岸l所在直线为x轴，以过M垂直于l的直线为y轴建立坐标系，则可得M（0，10），N（8$\sqrt{3}$，8），
设P（s，t），过P作平行于x轴的直线m，作N关于m的对称点N′，则N′（8$\sqrt{3}$，2t-8），
∴PM+PN=PM+PN′≥MN′=2$\sqrt{{t}^{2}-18t+129}$（0＜t＜8）；
（2）设三段水管的总长为L，则由（1）知L=PM+PN+PQ≥t+2$\sqrt{{t}^{2}-18t+129}$（0＜t＜8）；
∴（L-t）²=4（t²-18t+129）在t∈（0，8）上有解，
即3t²+（2L-72）t+（516-L²）=0在t∈（0，8）上有解，
△=（2L-72）²-12（516-L²）≥0，即L²-18L-63≥0
∴L≥21或L≤-3，
∴L的最小值为21，此时对应的t=5∈（0，8），
故N′（8$\sqrt{3}$，2），MN′的方程为y=10-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
令y=5得x=5$\sqrt{3}$，即P（5$\sqrt{3}$，5），
∴PM=$\sqrt{（5\sqrt{3}）^{2}+（5-10）^{2}}$=10，PN=$\sqrt{（5\sqrt{3}-8\sqrt{3}）^{2}+（5-8）^{2}}$=6，
∴满足题意的P点距河岸5km，距小区M到河岸的垂线5$\sqrt{3}$km，此时污水处理站到小区M，N的水管长度分别为10km和6km．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生解不等式的能力，正确建立关系式是关键．