题目内容
11.已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于原点中心对称,且x>0时,f(x)=x+$\frac{1}{x}$+2.(1)求f(x)在x≤-1时的解析式,并说明在(0,+∞)上f(x)的单调性:(不需证明)
(2)记f(x)在x∈[t,t+1]上的最大值为g(t),求g(t)的表达式(其中常数 t>0).
分析 (1)利用奇函数的性质,可求出当x小于零时的解析式,当然也适合x≤-1;
(2)利用函数的单调性对t进行分类讨论,求得函数最大值的表达式.
解答 解:(1)函数f(x)的定义域为R,其图象关于原点中心对称,
∴函数f(x)为奇函数,且f(0)=0
设x<0,则-x>0
∴f(-x)=-x+$\frac{1}{-x}$+2=-f(x)
∴f(x)=x+$\frac{1}{x}$-2(x<0);
在(0,+∞)上f(x)的单调减区间为(0,1),增区间为(1,+∞);
(2)由(1)知,
在(0,+∞)上f(x)的单调减区间为(0,1),增区间为(1,+∞);
∴当t≥1时,f(x)的最大值g(t)=f(t+1)=t+1+$\frac{1}{t+1}$+2;
当0<t<1时,令f(t)=f(t+1)得:t+$\frac{1}{t}$=t+1+$\frac{1}{t+1}$
∴t=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
故当0<t<$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$时,f(x)的最大值g(t)=f(t)=t+$\frac{1}{t}$+2;
$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$≤t<1时,f(x)的最大值g(t)=f(t+1)=t+1+$\frac{1}{t+1}$+2.
∴当0<t<$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$时,f(x)的最大值g(t)=f(t)=t+$\frac{1}{t}$+2;
当$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$≤t时,f(x)的最大值g(t)=f(t+1)=t+1+$\frac{1}{t+1}$+2.
点评 考察了奇函数的性质和利用单调性求函数的最值,难点是对t的分类讨论.
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