题目内容

【题目】如图，在直三棱柱中， 分别是棱的中点，点在线段上（包括两个端点）运动．

（1）当为线段的中点时，

①求证：；②求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围.

【答案】（1）①见解析；②；（2）.

【解析】

（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

由向量法证明线线垂直和计算二面角。（2）设（），设直线与平面所成的角为由向量坐标法求得

设设由导数法求得范围。

以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

则 ，.

因为分别是棱的中点，所以

（1）当为线段的中点时，则

①因为 所以即

②因为设平面的一个法向量为

由 可得，取，则所以

又因为是平面的一个法向量，

设平面与平面所成的二面角的平面角为，

则 .因为为锐角，所以

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为

（2）因为在线段上，所以设（），解得，

所以.

因为设平面的一个法向量为

由可得，取则所以

设直线与平面所成的角为

则

因为所以设则

所以，设

则，设可求得的取值范围为，

进一步可求得的取值范围为

所以直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为.

练习册系列答案
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A.充分而不必要条件
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C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件

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(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；

(2)根据所给的独立检验临界值表，你最多能有多少把握认为性别与休闲方式有关系？附：独立检验临界值表

P(K2≥k0)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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(cos 1＋isin 1)(cos 2＋isin 2)＝cos 3＋isin 3；

(cos 3＋isin 3)(cos 5＋isin 5)＝cos 8＋isin 8；

(cos 4＋isin 4)(cos 7＋isin 7)＝cos 11＋isin 11；

(cos 6＋isin 6)(cos 6＋isin 6)＝cos 12＋isin 12．

记f(x)＝cos x＋isin x．

猜想出一个用f (x)表示的反映一般规律的等式，并证明其正确性；

【题目】若函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=loga（x+k）的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

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A.48ln2
B.40ln2
C.32ln2
D.24ln2

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