题目内容

x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(1)当a=2,b=
2 |
OP |
OM |
(2)若
OP |
OM |
(3)直接写出
OP |
OM |
分析:(1)利用点斜式可得AM的方程,与椭圆的方程联立可得点P,利用数量积可得
•
;
(2)设P(x0,y0),M(a,t)(t≠0),利用A、P、M三点共线,可得
=
,即t=
.利用
+
=1,可得y02=
.于是
•
=2b2+
x0.令a2-2b2=0即可.
(3)利用(2)中的:a2=2b2即可给出:“设F1为椭圆的焦点,C为短轴的顶点,当△COF1为等腰三角形时,
•
为常数2b2或a2.”或给出“当PB⊥OM时,
•
为常数2b2或a2.”
OP |
OM |
(2)设P(x0,y0),M(a,t)(t≠0),利用A、P、M三点共线,可得
y0 |
x0+a |
t |
2a |
2ay0 |
x0+a |
x02 |
a2 |
y02 |
b2 |
b2(a-x0)(a+x0) |
a2 |
OP |
OM |
a2-2b2 |
a |
(3)利用(2)中的:a2=2b2即可给出:“设F1为椭圆的焦点,C为短轴的顶点,当△COF1为等腰三角形时,
OP |
OM |
OP |
OM |
解答:解 (1)直线AM:y=
(x+2),
与椭圆的方程联立
,解得P(
,
).
∴
•
=(
,
)•(2,2)=4.
(2)设P(x0,y0),M(a,t)(t≠0),
∵A、P、M三点共线,于是
=
,即t=
.
又
+
=1,即y02=
.
∴
•
=ax0+ty0=ax0+
=ax0+
=2b2+
x0.
∴当a2-2b2=0时,
•
为常数2b2.
(3)给出“设F1为椭圆的焦点,C为短轴的顶点,当△COF1为等腰三角形时,
•
为常数2b2或a2.”
或给出“当PB⊥OM时,
•
为常数2b2或a2.”
1 |
2 |
与椭圆的方程联立
|
2 |
3 |
4 |
3 |
∴
OP |
OM |
2 |
3 |
4 |
3 |
(2)设P(x0,y0),M(a,t)(t≠0),
∵A、P、M三点共线,于是
y0 |
x0+a |
t |
2a |
2ay0 |
x0+a |
又
x02 |
a2 |
y02 |
b2 |
b2(a-x0)(a+x0) |
a2 |
∴
OP |
OM |
2ay02 |
x0+a |
2b2(a-x0) |
a |
a2-2b2 |
a |
∴当a2-2b2=0时,
OP |
OM |
(3)给出“设F1为椭圆的焦点,C为短轴的顶点,当△COF1为等腰三角形时,
OP |
OM |
或给出“当PB⊥OM时,
OP |
OM |
点评:本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立、数量积运算、三点共线问题与直线斜率的关系、探究性问题等基础知识与基本技能方法,属于难题.

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