题目内容

精英家教网如图,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,A、B是长轴的左、右端点,动点M满足MB⊥AB,联结AM,交椭圆于点P.
(1)当a=2,b=
2
时,设M(2,2),求
OP
OM
的值;
(2)若
OP
OM
为常数,探究a、b满足的条件?并说明理由;
(3)直接写出
OP
OM
为常数的一个不同于(2)结论类型的几何条件.
分析:(1)利用点斜式可得AM的方程,与椭圆的方程联立可得点P,利用数量积可得
OP
OM

(2)设P(x0,y0),M(a,t)(t≠0),利用A、P、M三点共线,可得
y0
x0+a
=
t
2a
,即t=
2ay0
x0+a
.利用
x02
a2
+
y02
b2
=1
,可得y02=
b2(a-x0)(a+x0)
a2
.于是
OP
OM
=2b2+
a2-2b2
a
x0
.令a2-2b2=0即可.
(3)利用(2)中的:a2=2b2即可给出:“设F1为椭圆的焦点,C为短轴的顶点,当△COF1为等腰三角形时,
OP
OM
为常数2b2或a2.”或给出“当PB⊥OM时,
OP
OM
为常数2b2或a2.”
解答:解 (1)直线AM:y=
1
2
(x+2)

与椭圆的方程联立
y=
1
2
(x+2)
x2
4
+
y2
2
=1
,解得P(
2
3
4
3
)

OP
OM
=(
2
3
4
3
)•(2,2)=4
.     
(2)设P(x0,y0),M(a,t)(t≠0),
∵A、P、M三点共线,于是
y0
x0+a
=
t
2a
,即t=
2ay0
x0+a
.   
x02
a2
+
y02
b2
=1
,即y02=
b2(a-x0)(a+x0)
a2
.        
OP
OM
=ax0+ty0=ax0+
2ay02
x0+a
=ax0+
2b2(a-x0)
a
=2b2+
a2-2b2
a
x0

∴当a2-2b2=0时,
OP
OM
为常数2b2. 
(3)给出“设F1为椭圆的焦点,C为短轴的顶点,当△COF1为等腰三角形时,
OP
OM
为常数2b2或a2.”
或给出“当PB⊥OM时,
OP
OM
为常数2b2或a2.”
点评:本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立、数量积运算、三点共线问题与直线斜率的关系、探究性问题等基础知识与基本技能方法,属于难题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网