题目内容

如图，已知椭圆C：
x2
36
+
y2
20
=1的左顶点，右焦点分别为A，F，右准线为l，N为l上一点，且在x轴上方，AN与椭圆交于点M．
（1）若AM=MN，求证：AM⊥MF；
（2）过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，求PQ的最小值．
分析：（1）要证AM⊥MF，只需证
MA
•
MF
=0，分别求出
MA
，
MF
的坐标，利用数量积的坐标运算计算即可．
（2）欲求|PQ|的范围，需先将|PQ|用某个参数表示，再求最值，可先找到圆心坐标和半径，再利用圆中半径，半弦，弦心距组成的直角三角形，得到用参数表示的|PQ|，再用均值不等式求PQ的最小值．
解答：解：（1）由题意得A（-6，0），F（4，0），由准线l：x=
a2
c
=9，∴xN=9，∴xM=
3
2
．
又M点在椭圆上，且在x轴上方，得yM=
5
3
2
，
∴
MA
=(-
15
2
，-
5
3
2
)，
MF
=(
5
2
，-
5
3
2
)．
∴
MA
•
MF
=-
75
4
+
75
4
=0．
∴AM⊥MF；
（2）设N（9，t），其中t＞0，∵圆过A，F，N三点，
∴设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，有
36-6D+F=0
16+4D+F=0
81+t2+9D+tE+F=0
，
解得，D=2，E=-t-
75
t
，F=-24．
∴圆心为(-1，
1
2
(t+
75
t
))，半径r=
25+
1
4
(t+
75
t
)2
．
∴|PQ|=2
r2-1
=2
24+(t+
75
t
)2
．
∵t＞0，∴t+
75
t
≥2
t•
75
t
=10
3
，当且仅当t=
75
t
，即当t=5
3
时取“=”．
∴|PQ|的最小值是2
99
=6
11
．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线，圆与圆锥曲线的关系，训练了利用数量积判断两个向量的垂直关系，考查了利用基本不等式求最值，属难题．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
（1）已知椭圆C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判断C2与C1是否相似，如果相似则求出C2与C1的相似比，若不相似请说明理由；
（2）已知直线l：y=x+1，在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
2
，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直线AB的方程．
（2012•深圳一模）如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．
精英家教网如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左顶点，右焦点分别为A、F，右准线为m．圆D：x2+y2+x-3y-2=0．
（1）若圆D过A、F两点，求椭圆C的方程；
（2）若直线m上不存在点Q，使△AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围．
（3）在（1）的条件下，若直线m与x轴的交点为K，将直线l绕K顺时针旋转
π
4
得直线l，动点P在直线l上，过P作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的最小值．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网