题目内容

精英家教网如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左顶点，右焦点分别为A、F，右准线为m．圆D：x2+y2+x-3y-2=0．
（1）若圆D过A、F两点，求椭圆C的方程；
（2）若直线m上不存在点Q，使△AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围．
（3）在（1）的条件下，若直线m与x轴的交点为K，将直线l绕K顺时针旋转
π
4
得直线l，动点P在直线l上，过P作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的最小值．
分析：（1）根据已知圆求出与x轴交点坐标，然后求出b，写出椭圆方程．
（2）设出直线m与x轴的交点，根据题意FQ≥FA，化简即可．
（3）根据已知圆求出圆心半径，再根据PM⊥MD，求出最值．
解答：解：（1）圆x2+y2+x-3y-2=0与x轴交点坐标为，A（-2，0），F（1，0），
故a=2，c=1，
所以b=
3
，
椭圆方程是：
x2
4
+
y2
3
=1
（2）设直线m与x轴的交点是Q，
依题意FQ≥FA，
即
a2
c
-c≥a+c，
a2
c
≥a+2c，
a
c
≥1+2
c
a
，
1
e
≥1+2e，
2e2+e-1≤0，0＜e≤
1
2
．
（3）直线l的方程是x-y-4=0，
圆D的圆心是(-
1
2
，
3
2
)，半径是
3
2
2
，
设MN与PD相交于H，则H是MN的中点，
且PM⊥MD，
MN=2NH=2•
MD•MP
PD
=2•
MD•
PD2-MD2
PD
=2MD•
1-
MD2
PD2

当且仅当PD最小时，MN有最小值，
PD最小值即是点D到直线l的距离是
d=
|-
1
2
-
3
2
-4|
2
=
6
2
，
所以MN的最小值是2×
3
2
2
×
1-
9
2
36
2
=
3
6
2
．
点评：本题考查圆锥曲线知识的综合运用，以及椭圆的标准方程，涉及对知识的灵活运用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
（1）已知椭圆C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判断C2与C1是否相似，如果相似则求出C2与C1的相似比，若不相似请说明理由；
（2）已知直线l：y=x+1，在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
2
，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直线AB的方程．
如图，已知椭圆C：
x2
36
+
y2
20
=1的左顶点，右焦点分别为A，F，右准线为l，N为l上一点，且在x轴上方，AN与椭圆交于点M．
（1）若AM=MN，求证：AM⊥MF；
（2）过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，求PQ的最小值．
（2012•深圳一模）如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．

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