Question

已知数列{a_n}满足以下两个条件：①点（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上；②首项a₁是方程3x²-4x+1=0的整数解．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）等比数列{b_n}中，b₁=a₁，b₂=a₂，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由题意可得{a_n}是一个等差数列，且公差为2，首项为1，易得通项公式；（II）由（I）易得等比数列{b_n}的首项和公比，代入求和公式可得答案．

解答：解：（I）方程3x²-4x+1=0的解为x=

1

3

，或x=1，故整数解为x=1
根据已知a₁=1，a_n+1=a_n+2，即a_n+1-a_n=2，
所以数列{a_n}是一个等差数列，且公差为2，
故可得a_n=1+2（n-1）=2n-1…（6分）
（II）由（I）可知，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3，…（8分）
故等比数列{b_n}中，公比q=

b2

b1

=3，所以b_n=1×3^n-1=3^n-1…（10分）
故数列{b_n}的前n项和T_n=

b1(1-qn)

1-q

=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

…（12分）

点评：本题查看等差数列与等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式，属中档题．