题目内容
【题目】(本小题满分16分)如图,有一个长方形地块ABCD,边AB为2km, AD为4 km.,地块的一角是湿地(图中阴影部分),其边缘线AC是以直线AD为对称轴,以A为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF,E,F分别在边AB,BC上(隔离带不能穿越湿地,且占地面积忽略不计).设点P到边AD的距离为t(单位:km),△BEF的面积为S(单位: ).
(1)求S关于t的函数解析式,并指出该函数的定义域;
(2)是否存在点P,使隔离出的△BEF面积S超过3 ?并说明理由.
【答案】(1),定义域为
,(2)不存在点
【解析】
试题分析:(1)求S关于t的函数解析式,关键在求出抛物线在点P的切线方程:先根据抛物线过点C,求出抛物线的方程为.再由
得过
的切线
方程为
,从而
,
,
,函数的定义域
(2)本题实质求△BEF面积S的值域,判断3是否为在其值域内:由
得
在
上是增函数,在
上是减函数,
在
上有最大值
,所以不存在点
,使隔离出的△
面积
超过3
.
试题解析:
(1)如图,以为坐标原点
,
所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则
点坐标为
. 1分
设边缘线所在抛物线的方程为
,
把代入,得
,解得
,
所以抛物线的方程为. 3分
因为, 4分
所以过的切线
方程为
. 5分
令,得
;令
,得
, 7分
所以, 8分
所以,定义域为
. 9分
(2), 12分
由,得
,
所以在
上是增函数,在
上是减函数, 14分
所以在
上有最大值
.
又因为,
所以不存在点,使隔离出的△
面积
超过3
. 16分
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