Question

4．（Ⅰ）已知tanθ=-$\frac{3}{4}$，求2+sinθ．cosθ-cos²θ的值；
（Ⅱ）已知sin（α-3π）=2cos（α-4π），求$\frac{{sin（{π-α}）+5cos（{2π-α}）}}{{2sin（{\frac{3π}{2}-α}）-sin（{-α}）}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把2+sinθcosθ-cos²θ的分母1变为sin²θ+cos²θ，然后进行通分，合并化简后再在分子分母都除以cos²θ，然后把tanθ=-$\frac{3}{4}$代入即可求出值．
（Ⅱ）利用诱导公式化简已知可得sinα=-2cosα，再利用诱导公式化简所求后代人即可得解．

解答 解：（Ⅰ）2+sinθcosθ-cos²θ=$\frac{2+sinθcosθ-co{s}^{2}θ}{1}$=$\frac{2（si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ）+sinθcosθ-co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{2si{n}^{2}θ+sinθcosθ+co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{2ta{n}^{2}θ+tanθ+1}{1+ta{n}^{2}θ}$，
因为tanθ=-$\frac{3}{4}$，代入得：原式=$\frac{2×（-\frac{3}{4}）^{2}+（-\frac{3}{4}）+1}{1+（-\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{22}{25}$．
（Ⅱ）∵sin（α-3π）=2cos（α-4π），
∴sinα=-2cosα，
∴$\frac{{sin（{π-α}）+5cos（{2π-α}）}}{{2sin（{\frac{3π}{2}-α}）-sin（{-α}）}}$=$\frac{sinα+5cosα}{sinα-2cosα}$=$\frac{3cosα}{-4cosα}$=-$\frac{3}{4}$．

点评 考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，做此类型题时时刻注意“1”的灵活变换．以及会进行先切互化运算，会利用整体代入的方法求值．