Question

5．已知AB是抛物线x²=2py（p＞0）的焦点弦（焦点弦是指椭圆或者双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦），F为抛物线的焦点，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．求证：
（1）x₁x₂=-p²，y₁y₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$；
（2）AB=y₁+y₂+p；
（3）$\frac{1}{AF}$+$\frac{1}{BF}$为定值．

Answer 1

分析 设直线方程为y=kx+$\frac{p}{2}$，代入x²=2py，利用韦达定理、抛物线的定义，即可证明结论．

解答 证明：（1）设直线方程为y=kx+$\frac{p}{2}$，
代入x²=2py，可得x²-2kpx-p²=0，
∴x₁x₂=-p²，y₁y₂=$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{4{p}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$；
（2）AB=y₁+$\frac{p}{2}$+y₂+$\frac{p}{2}$=y₁+y₂+p；
（3）∵y₁+y₂=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{2p}$=2kp+p，
∴$\frac{1}{AF}$+$\frac{1}{BF}$=$\frac{1}{{y}_{1}+\frac{p}{2}}$+$\frac{1}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+p}{\frac{{p}^{2}}{2}+\frac{p}{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{2kp+p}{k{p}^{2}+{p}^{2}}$=$\frac{2}{p}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．