Question

20．设a＞0且a≠1，命题P：函数f（x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）为减函数，命题Q：已知集合M={x|x²+（a+2）x+1=0}∩{x|x＞0}=∅，若P∧Q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的a的范围，通过讨论p，q的真假，得到不等式组解出即可．

解答 解：设a＞0且a≠1，若命题P：函数f（x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）为减函数，
则f（x）=${log}_{a}^{\frac{1-x}{1+x}}$（-1＜x＜1）是减函数，令y=$\frac{1-x}{1+x}$，则y′=-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$＜0，
根据复合函数同增异减的单调性原则，
得：a＞1，
若命题Q：已知集合M={x|x²+（a+2）x+1=0}∩{x|x＞0}=∅，
∵a＞0且a≠1，则方程x²+（a+2）x+1=0的根非正，
∴-（a+2）≤0，解得：a≥-2，
若P∧Q为假，则p，q一真一假，
p真q假时：$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜-2}\end{array}\right.$，无解，
p假q真时：$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a≥-2}\end{array}\right.$，解得：-2≤a≤1．

点评 本题考查了复合命题的真假的判断，考查二次函数的性质、复合函数的单调性，是一道中档题