Question

8．已知数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_k是以4为首项、-2为公差的等差数列，a_k+1，a_k+2，…，a_2k是以$\frac{1}{2}$为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列（k≥3，k∈N^*），且对任意的n∈N^*，都有a_n+2k=a_n成立，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）当k=5时，求a₄₈的值；
（2）判断是否存在k，使S_4k+3≥18．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的通项公式得出a_k，等比数列的通项公式得出a_k+n，再由a_n+2k=a_n，得数列{a_n}为周期是2k的数列，由此求出a₄₈；
（2）根据数列{a_n}的周期性，化简并判断使a_4k+3≥18是否成立．

解答 解：（1）根据等差数列的通项公式，得
a_k=4+（k-1）•（-2）=-2k+6；
根据等比数列的通项公式，得
a_k+k=$\frac{1}{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{k-1}$=${（\frac{1}{2}）}^{k}$；
又∵对一切正整数n，都有a_n+2k=a_n成立，
∴数列{a_n}为周期数列，且周期为2k；
当k=5时，周期为10，
∴a₄₈=a₈=a₅₊₃，
∴a₄₈是等比数列中的第三项，
∴a₄₈=${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{1}{8}$；
（2）假设存在k，使a_4k+3≥18成立，
∵数列{a_n}为周期数列，且周期为2k，
∴a_4k+3=a₃=0≥18不成立，
即不存在k使a_4k+3≥18．

点评 本题考查了等差与等比数列的应用问题，也考查了归纳方法的应用问题，是综合性题目．