题目内容
(12分)(2011•湖北)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=1,b=2,cosC=
(Ⅰ)求△ABC的周长;
(Ⅱ)求cos(A﹣C)的值.
(Ⅰ)5(Ⅱ)
解析试题分析:(I)利用余弦定理表示出c的平方,把a,b及cosC的值代入求出c的值,从而求出三角形ABC的周长;
(II)根据cosC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,然后由a,c及sinC的值,利用正弦定理即可求出sinA的值,根据大边对大角,由a小于c得到A小于C,即A为锐角,则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值,然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子,把各自的值代入即可求出值.
解:(I)∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4,
∴c=2,
∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.
(II)∵cosC=,∴sinC===.
∴sinA===.
∵a<c,∴A<C,故A为锐角.则cosA==,
∴cos(A﹣C)=cosAcosC+sinAsinC=×+×=.
点评:本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识,同时考查学生的基本运算能力,是一道基础题.
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