Question

4．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，底面边长为$\sqrt{6}$，则这个球的表面积是16π．

Answer 1

分析 正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO₁上，记为O，如图．求出AO₁，OO₁，解出球的半径，求出球的表面积．

解答 解：正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO₁上，
记为O，PO=AO=R，PO₁=3，OO₁=3-R，
在Rt△AO₁O中，AO₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\sqrt{3}$，由勾股定理R²=3+（3-R）²得R=2，
∴球的表面积S=16π
故答案为：16π．

点评 本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径．需具有良好空间形象能力、计算能力．