Question

4．在等差数列{a_n}中，a₃+a₄+a₅=21，a₉=17．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=2^a_n-a_n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项；
（2）求得b_n=2^a_n-a_n=2^2n-1-（2n-1），运用数列的求和方法：分组求和，借助等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₃+a₄+a₅=21，a₉=17，
即为3a₁+9d=21，a₁+8d=17，
解得a₁=1，d=2，所以a_n=2n-1；
（2）b_n=2^a_n-a_n=2^2n-1-（2n-1），
数列{b_n}的前n项和S_n=（2-1）+（2³-3）+…+（2^2n-1-（2n-1））
=（2+2³+…+2^2n-1）-（1+3+…+2n-1）
=$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$-$\frac{1}{2}$（1+2n-1）n=$\frac{2（{4}^{n}-1）}{3}$-n²．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．