Question

15．已知椭圆E：$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}$=1（a＞b＞0），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点A（-1，0）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）若椭圆E的任意两条互相垂直的切线相交于点P，证明：点P在一个定圆上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$且b=1，则a=$\sqrt{2}$，c=1；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），分两类讨论：①当直线l的斜率存在且非零时，得出$x_0^2+y_0^2=3$；②当直线l的斜率不存在或斜率等于零时，P$（±1，±\sqrt{2}）$也符合上述关系．

解答 解析：（Ⅰ）由已知$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且椭圆的焦点在y轴上，
所以，b=1，则，a=$\sqrt{2}$，c=1，
所以椭圆E的方程为：${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$；
（Ⅱ）设两切线的交点P（x₀，y₀），过交点P的直线l与椭圆${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$相切，
①当直线l的斜率存在且非零时，x₀≠±1．
设其斜率为k，则直线l：y=k（x-x₀）+y₀，联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-{x}_{0}）+{y}_{0}}\\{x^2+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}\right.$，
消y得：$（2+{k^2}）{x^2}+2k（{y_0}-k{x_0}）x+{（{y_0}-k{x_0}）^2}-2=0$，
因为直线l与椭圆相切，△=0，
即$△={[2k（{y_0}-k{x_0}）]^2}-4（2+{k^2}）[{（k{x_0}-{y_0}）^2}-2=0$，
化简得，$（1-x_0^2）{k^2}+2{x_0}{y_0}k+2-y_0^2=0$------（*）
因椭圆外一点所引的两条切线互相垂直，则k₁k₂=-1，
而k₁，k₂为方程（*）的两根，故$\frac{2-y_0^2}{1-x_0^2}=-1$，整理得：$x_0^2+y_0^2=3$；
②当直线l的斜率不存在或斜率等于零时，易求得P点的坐标为$（±1，±\sqrt{2}）$，
显然，点P$（±1，±\sqrt{2}）$也满足方程：$x_0^2+y_0^2=3$，
综合以上讨论得，对任意的两条相互垂直的切线，点P的坐标均满足方程x²+y²=3，
故点P在定圆x²+y²=3上．

点评 本题主要考查了椭圆标准方程的求法，直线与圆锥曲线的位置关系的判断，以及分类讨论的解题思想，属于中档题．